вторник, 12 апреля 2016 г.

Мастер класс по прогрессиям

Арифметическая прогрессия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая) — числовая последовательность вида

a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа

d

(шага, или разности прогрессии):

a_n=a_{n-1} + d \quad

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

a_n=a_1 + (n-1)d

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью . При

d>0

она является возрастающей, а при

d<0

— убывающей. Если

d=0

, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения

a_{n+1}-a_n=d

для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером $n$ может быть найден по формуле

$a_n=a_1+(n-1)d$ , где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность.

Доказательство

Пользуясь соотношением $a_{n+1}=a_n+d$ выписываем последовательно несколько членов прогрессии:

$a_2=a_1+d$

$a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d$

$a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d$

$a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d$

Заметив закономерность, делаем предположение, что $a_n=a_1+(n-1)d$ . С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех $n \in \mathbb N$ :

База индукции $(n=1)$ :

$a_1=a_1+(1-1)d=a_1$ — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при $n=k$ , то есть $a_k=a_1+(k-1)d$ . Докажем истинность утверждения при $n=k+1$ :

$a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd$

Итак, утверждение верно и при $n=k+1$ . Это значит, что $a_n=a_1+(n-1)d$ для всех $n \in \mathbb N$ .

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots$ есть арифметическая прогрессия $\Leftrightarrow$ для любого её элемента выполняется условие $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2$ .

Доказательство

Необходимость:

Поскольку $a_1, a_2, a_3, \ldots$ — арифметическая прогрессия, то для $n \geqslant 2$ выполняются соотношения:

$a_n=a_{n-1}+d$

$a_n=a_{n+1}-d$ .

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ .

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду $a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}$ . Поскольку соотношения верны при всех $n \geqslant 2$ , с помощью математической индукции покажем, что $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ .

База индукции $(n=2)$ :

$a_2-a_1=a_3-a_2$ — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при $n=k$ , то есть $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ . Докажем истинность утверждения при $n=k+1$ :

$a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$

Но по предположению индукции следует, что $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ . Получаем, что $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}$

Итак, утверждение верно и при $n=k+1$ . Это значит, что $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2 \Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ .

Обозначим эти разности через $d$ . Итак, $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d$ , а отсюда имеем $a_{n+1}=a_n+d$ для $n \in \mathbb N$ . Поскольку для членов последовательности $a_1, a_2, a_3, \ldots$ выполняется соотношение $a_{n+1}=a_n+d$ , то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n$ может быть найдена по формулам

$S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n$ , где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — член с номером $n$ , $n$ — количество суммируемых членов.
$S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)$ — формула Алпеева , где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_2$ — второй член прогрессии $, a_n$ — член с номером $n$ .
$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n$ , где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество суммируемых членов.

Доказательство

Запишем сумму двумя способами:

$S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$

$S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь прибавим оба равенства, последовательно прибавляя в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)$

Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде $a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n$ . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

$a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n$

Получили, что каждое слагаемое не зависит от $i$ и равно $2a_1+(n-1)d$ . В частности, $a_1+a_n=2a_1+(n-1)d$ . Поскольку таких слагаемых $n$ , то

$2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n$

Третья формула для суммы получается подстановкой $2a_1+(n-1)d$ вместо $a_1+a_n$ . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

Вместо $a_1+a_n$ в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых $a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,\ldots,n$ , так как они все равны между собой.

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия $a_1, a_2, a_3, \ldots$ расходится при $d\ne 0$ и сходится при $d=0$ . Причём

$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{matrix} \right.$

Доказательство

Записав выражение для общего члена и исследуя предел $\lim_{n\rightarrow\infty} (a_1+(n-1)d)$ , получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть $a_1, a_2, a_3, \ldots$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$ и число $a>0$ . Тогда последовательность вида $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем $a^d$ .

[скрыть]Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

$\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, n\geqslant 2$

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

$\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}=\sqrt{a^{a_1+(n-2)d}\cdot a^{a_1+nd}}=\sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=\sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, n\geqslant 2$

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения $q=\frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=\frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d$ .

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессиюn-го порядка.

Если $\left [ a_{i} \right ]_{1}^{n}$ — арифметическая прогрессия порядка $m$ , то существует многочлен $P_{m}(i) = c_{m}i^{m}+...+c_{1}i+c_{0}$ , такой, что для всех $i \in \left \{ 1, .... n \right \}$ выполняется равенство $a_{i}=P_{m}(i)$ ^[1]

Примеры

Натуральный ряд $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ — это арифметическая прогрессия, в которой первый член $a_1=1$ , а разность $d=1$ .

$1, -1, -3, -5, -7$ — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой $a_1=1$ и $d=-2$ .

Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу $a$ , то это есть арифметическая прогрессия, в которой $a_1=a$ и $d=0$ . В частности, $\pi, \pi, \pi, \ldots$ есть арифметическая прогрессия с разностью $d=0$ .

Сумма первых $n$ натуральных чисел выражается формулой

$1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2$ .

Занимательная история

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

$\frac{n(n+1)}2$

то есть к формуле суммы первых $n$ чисел натурального ряда.

Геометрическая прогрессия

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $b_1,\ b_2,\ b_3,\ \ldots$ (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число $q \quad$ (знаменатель прогрессии), где $b_1\not=0$ , $q\not=0$ : $b_1,\ b_2=b_1q,\ b_3=b_2q,\ \ldots,\ b_n=b_{n-1}q$ .

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

$b_n=b_1q^{n-1} \quad$

Если $b_1>0$ и $q>1$ , прогрессия является возрастающей последовательностью, если $0<q<1$ , — убывающей последовательностью, а при $q<0$ —знакочередующейся.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

$|b_{n}| = \sqrt{b_{n-1} b_{n+1}},$

то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата^:8-9.

Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.

50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем -½.

$\pi, \pi, \pi, \pi$ — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Свойства

Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

$\log( b_n ) = \log( b_1 q^{n - 1} ) = \log( b_1 ) + (n - 1) \cdot \log( q )$ Формула общего члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ .
В нашем случае
$a_1 = \log( b_1 )$ ,
$d = \log( q )$ .

$b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}$ , если $1 < i < n$ .

Доказательство

$b_n^2 = b_n b_n = b_1 q^{n - 1} b_1 q^{n - 1} = b_1 q^{n - 1 - i} b_1 q^{n - 1 + i} = b_{n - i} b_{n + i}$

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
$P_{n} = ( b_1 \cdot b_n )^\frac{n}{2}$ .

Доказательство]

$P_n = \prod_{i=1}^n b_i = \prod_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1^n \prod_{i=1}^n q^{i-1} = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } \prod_{i=1}^n q^{i-1}$ Раскроем произведение $\prod_{i=1}^n q^{i-1}$ : $\prod_{i=1}^n q^{i-1} = q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdot ... \cdot q^{i-1} = q^{ 0 + 1 + 2 + ... + (i-1) }$ Выражение $0 + 1 + 2 + ... + (n-1)$ представляет собой арифметическую прогрессию с $a_1=0$ и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна $S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} = n \cdot \frac{0+(n-1)}{2}$ . Откуда $P_n = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } \prod_{i=1}^n q^{i-1} = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } q^{ \frac{ n(0 + (n - 1)) }{2} } = ( b_1 b_1 q^{n-1} )^{ \frac{n}{2} } = ( b_1 b_n )^{ \frac{n}{2} }$

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:
$P_{k,n} = \frac{ P_{n} }{ P_{k-1} }$ .

Доказательство

$P_{k,n} = \prod_{i=k}^n b_i = \frac{ \prod_{i=1}^n b_i }{ \prod_{j=1}^{k-1} b_j } = \frac{P_n}{ P_{k-1} }$

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$S_n = \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^n b_i = \frac{ b_1 - b_1 q^{n} }{1-q}=\frac{ b_1 (1 - q^{n} ) }{ 1-q }, & \mbox{if } q \ne 1 \\ \\ n b_1, & \mbox{if } q = 1 \end{cases}$

Доказательство

Через сумму:
$S_n = \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1 + \sum_{i=2}^n b_1 q^{i-1} = b_1 + q \sum_{i=2}^n b_1 q^{i-2} = b_1 + q \sum_{i=1}^{n-1} b_1 q^{i-1} = b_1 + q \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} - b_1 q^n$
То есть $\sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1 + q \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} - b_1 q^n$ или
$(1 - q) \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1 - b_1 q^n$ .
Откуда $\sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = \frac{ b_1 - b_1 q^n }{1 - q} = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$

Индукцией по $n$ :
$n = 1 : S_1 = \sum_{i=1}^1 b_i = b_1 = b_1 \frac{1 - q^1}{1 - q}$
$n \rightarrow n + 1 : S_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1} b_i = \sum_{i=1}^n b_i + b_{n+1} = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} + b_1 q^n = b_1 (\frac{1 - q^n}{1 - q} + q^n) = b_1(\frac{1 - q^n + q^n - q^{n+1}}{1 - q}) = b_1 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Если $\left| q \right|<1$ , то $b_n \to 0$ при $n \to +\infty$ , и
$S_n \to {b_1 \over 1-q}$ при $n \to +\infty$ .

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)